Persamaan Bola

Bola adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Selanjutnya jarak yang sama itu disebut jari-jari bola dan titik tertentu  itu disebut titik pusat bola.

Persamaan Bola dengan pusat O(0 , 0, 0) dan jari-jari r adalah

       S= x² + y² + z² = r² ....(I)

Persamaan Bola untuk Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut)

Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola, maka berlaku:
MP = OP – OM
= (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)
= (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)
Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:
│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}
Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:
R   = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}
R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²Bila titik  P(x˳, y˳, z˳) dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan Bola. Jadi persamaan Bola  yang berpusat dititik M(a,b,c) dengan jari-jari = R adalah......
                          (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² ….(II)
Bila persamaan (II) dijabarkan, maka akan diperoleh:
  (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²
  ( X² - 2ax + a²) + ( y² – 2by + b²) + (z² – 2cz + c²) = R²
    X² - 2ax + a² +  y² – 2by + b² + z² – 2cz + c²  = R²
   x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0
       x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0 … (III)
Dari persamaan (III) diatas, apabila:

•  -2a = A

•   -2b = B

•  -2c = C dan 

•   a² + b² + c² – R² = D

Maka dari persamaan (III) dapat ditulis sebagai berikut:
x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 ….(IV)
Persamaan (IV) ini  disebut  BENTUK UMUM persamaan Bola , dan karena:

•  -2a = A, maka a = -½ A

• -2b = B, maka b = -½B

•   -2c = C, maka c = -½C

Dengan demikian Pusat Bola pada persamaan (IV) diatas adalah...
M(-½A, -½B, -½C) ….(V)
Jadi, bentuk (V) diatas  adalah Rumus koordinat Titik Pusat Bola
Begitu pula karena  a² + b² + c² – R² = D, maka diperoleh :
R² =  a² + b² + c² – D
R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D
R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D
         R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) ….(VI)
Bentuk atau persamaan (VI) diatas adalah persamaan untuk JARI-JARI Bola
Untuk bola dengan persamaan  x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 (IV) diatas  terdapat tiga kemungkinan, yaitu :
1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati
2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)
3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal

Senin, 8 April 2019 (19.55)